Архив номеров

В статье проводится анализ упругих пластин, периодических в плане, при поперечном изгибе с помощью метода осреднения [1, 2]. Асимптотическое исследование таких пластин может осуществляться на основе двух подходов. Первый использует уравнения теории оболочек (например, пологих оболочек или пластин с начальным прогибом), к которым применяется метод осреднения. Второй подход исходит из уравнений трехмерной теории упругости. Применение метода осреднения приводит к двумерным уравнениям теории пластин для определения гладких составляющих НДС, а также локальным трехмерным задачам на ячейке периодичности для нахождения флуктуаций. Отметим некоторые работы этого направления. Следует назвать работу [3], в которой, наверно, впервые исследован изгиб однородной пластины с периодически неровными поверхностями. В [4] рассмотрено продольное растяжение периодически неоднородной пластины, но с плоскими границами. В [5, 6] получено асимптотическое представление решения как для растяжения в плоскости пластины, так и для изгиба произвольно неоднородной пластины с неровными границами. Единственным условием остается требование периодичности формы, а также свойств пластины. В [6] рассматривались отдельно плосконапряженное состояние и изгиб. В [5] показано, что такое разделение возможно только в том случае, когда пластина имеет плоскость симметрии формы и свойств. В противном случае получены уравнения совместного плоскоизгибного состояния. Во всех перечисленных работах по существу изучены только первые члены асимптотического разложения. В [7] для состояния изгиба без растяжения получены два следующих приближения, позволяющие вычислять касательные и поперечное напряжения. В данной работе дается полный анализ состояния изгиба-растяжения периодической пластины под действием поперечной нагрузки. Областью применения этой теории являются всевозможные ребристые, штампованные и сотовые пластины. Нулевое приближение (такая терминология введена в [1]) дает осредненные уравнения плоскоизгибного состояния. Локальные задачи нулевого приближения позволяют вычислить эффективные жесткости. После преобразования эти задачи соответствуют экспериментальному определению эффективных жесткостей. Первое и второе приближения позволяют найти касательные напряжения и поперечное напряжения, для вычисления которых получены локальные задачи на ячейке периодичности и показана их разрешимость. Приведен пример вычисления жесткостей растяжения, изгиба и взаимного влияния для модельной пластины, имеющей ячейку периодичности в форме шестиугольника. Полученная теория может быть применена к слоистым пластинам. В этом случае нулевое приближение дает классическую теорию слоистых пластин, описанную, например, в [8, 9].