Архив номеров

В работе рассматривается проблема осреднения краевой задачи для неоднородного тела, обладающего моментными свойствами - исходная задача. Под осреднением понимается тот или иной способ представления решения исходной задачи через решение точно такой же задачи для тела с однородными свойствами. Задачу для тела с однородными свойствами будем называть сопутствующей задачей, а само тело - сопутствующим однородным телом. Конструктивная процедура осреднения, как правило, включает в себя три этапа: на первом этапе по свойствам неоднородного тела находятся свойства сопутствующего однородного тела (эффективные свойства); на втором этапе решается краевая задача для сопутствующего тела; на третьем этапе по решению сопутствующей задачи находится решение исходной задачи. Такой подход реализован в механике композиционных материалов, построенных из большого числа представительных элементов. Существенный вклад в развитие механики композитов внесен Ю.Н. Работновым [1-3] и его учениками. В последнее время широкое распространение получил метод осреднения задач для композитов регулярной структуры, основанный на разложении решения исходной задачи в ряд по степеням малого геометрического параметра, равного отношению характерного размера ячейки периодичности к характерному размеру всего тела. Первыми в этом направлении являются работы Н.С. Бахвалова [4-6] и Б.Е. Победри [7]. К настоящему времени вышло большое количество монографий, посвященных частично или полностью методу малого геометрического параметра [8-14].

Отдельные задачи для неоднородных тел при непериодической зависимости свойств от координат рассматривались во многих работах. Большинство таких работ, вышедших до 1973 года собраны в двух обширных библиографических указателях [15, 16]. В статьях В.А. Ломакина и в его фундаментальной монографии [17] рассмотрены общие методы и решено множество конкретных задач теории упругости непрерывно неоднородных тел. Теория кручения неоднородных анизотропных стержней рассмотрена в [18].

В 1991 году в докторской диссертации одного из авторов статьи был предложен вариант метода осреднения, основанный на интегральной формуле представления решения исходной статической задачи неоднородной теории упругости через решение сопутствующей задачи [19, 20]. Позже была опубликована интегральная формула для динамической задачи теории упругости [21]. На основе этой интегральной формулы был разработан конструктивный метод осреднения динамических задач неоднородной упругости, пригодный как при периодической, так и при непериодической неоднородности свойств [22]. Интегральная формула для случая моментной теории упругости была опубликована в [23]. В нижеследующей работе кратко излагается конструктивная методика осреднения задач моментной упругости, основанная на интегральной формуле.