Архив номеров

Приведено полное исследование плоских малых нелинейных колебаний качающейся пружины с нелинейной зависимостью натяжения пружины от ее удлинения. Используется метод гамильтоновой нормальной формы. Гамильтонова нормальная форма выгодно отличается от общей нормальной формы дифференциальных уравнений тем, что она имеет дополнительный интеграл. Для приведения гамильтониана к нормальной форме используется метод инвариантной нормализации, что существенно сокращает выкладки. Асимптотики нормальной формы получаются путем последовательного вычисления квадратур единым образом как для резонансного, так и нерезонансного случаев. Решения гамильтоновых уравнений нормальной формы показали, что периодическая перестройка колебаний между вертикальной и горизонтальной модами происходит только в случае резонансов 1:1 и 2:1. При резонансе 2:1 этот эффект проявляется в квадратичных членах уравнения, а при резонансе 1:1 - с учетом кубических членов. Во всех остальных случаях, как при наличии резонанса, так и при его отсутствии, колебания происходят с двумя постоянными частотами, мало отличающимися от частот линейного приближения. Для резонанса 2:1 найдена максимальная расстройка частоты, при которой эффект перекачки энергии от одной моды колебаний к другой исчезает. Резонанс 1:1 физически возможен лишь для пружины, обладающей отрицательной кубической добавкой в законе деформирования.