Архив номеров

Пространственные задачи теории упругости решаются в основном в перемещениях [1, 2], т.е. за исходные принимаются уравнения Ламе. Это связано с отсутствием общих решений системы основных уравнений теории упругости, выраженных в напряжениях. В связи с этим в [3, 4] разработана новая вариационная постановка задачи в напряжениях, заключающаяся в решении шести обобщенных уравнений совместности относительно шести независимых компонент тензора напряжения, а три уравнения равновесия "переведены в разряд" граничных условий. Этот метод лучше приспособлен к численному решению задач в напряжениях и апробирован на решениях разных краевых задач. В данной статье на основе анализа полноты тождеств Сен-Венана и использования функций напряжения Максвелла получена новая разрешающая система трех дифференциальных уравнений совместности деформации относительно трех искомых функций напряжения ϕ, ξ, ψ. Эта система представляет собой альтернативу трем уравнениям равновесия Ламе относительно трех искомых компонент перемещений u, v, w и является более простой по своей структуре. Кроме того обе эти системы разрешающих уравнений решаются новым рекуррентно-операторным методом [5, 6]. В отличие от известных методов построения общих решений линейных дифференциальных уравнений и их систем, решения по рекуррентно-операторному методу строятся в виде операторно-степенных рядов, действующих на произвольные аналитические функции действительных переменных (не обязательно гармонических), а коэффициенты рядов определяются из рекуррентных соотношений (матричных в случае систем уравнений). Произвольные функции, входящие в общее решение, могут непосредственно определяться либо из граничных условий (в результате получающаяся система неоднородных уравнений с правой частью также может быть решена рекуррентно-операторным методом [6]), либо ими можно задаваться из различных классов аналитических функций (элементарных, специальных) и получать полный набор частных решений в этих же классах функций, а коэффициенты линейных комбинаций частных решений определять из граничных условий по методу Треффца, наименьших квадратов, коллокации.