Архив номеров

В современных конструкциях и сооружениях широко применяются гофрированные пластины, поскольку они, по сравнению с плоскими пластинами, обладают большей жесткостью. Во многих случаях такую пластинку можно моделировать однородной анизотропной пластинкой с некоторыми эффективными жесткостями на изгиб и растяжение. В зависимости от геометрии гофров и их расположения эквивалентная однородная пластинка может обладать также и жесткостями взаимного влияния. Эти жесткости позволяют учитывать влияние изгибающих моментов на деформации в срединной плоскости и наоборот, влияние продольных деформаций на изгиб пластины [1]. Поведение гофрированной пластинки под действием нормальной к срединной поверхности нагрузки описывается уравнениями теории гибких пластинок с начальным прогибом. Эти уравнения представляют собой связанную систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами [2]. Зависимость коэффициентов от координат определяется геометрией гофра. В случае пластинки с периодическим гофром коэффициенты существенно меняются в пределах одного типичного элемента и зависят от значений локальных переменных, определённых в каждом из типичных элементов. Между локальными и глобальными переменными имеется связь, поэтому функции локальных координат одновременно являются функциями глобальных координат, иногда их называют быстроосциллирующими функциями [3].

Одним из способов решения уравнений с быстроосцилирующими коэффициентами является асимптотический метод малого геометрического параметра. Стандартная процедура этого метода обычно включает в себя три подготовительных этапа. На первом этапе вместо типичного элемента выделяется, как правило, прямоугольная ячейка периодичности. Второй этап заключается в изменении масштаба глобальных координат таким образом, чтобы прямоугольные ячейки периодичности структуры перешли бы в квадратные ячейки размера l×l. Третий этап состоит в переходе к безразмерным глобальным координатам, отнесенным к характерному размеру L пластинки. В результате зависимость между новыми локальными переменными и новыми отмасштабированными, безразмерными глобальными координатами станет такой, что при дифференцировании по глобальной координате любой функции от локальных координат появляется множитель 1/α, где α=l/L«1 - малый геометрический параметр. После этого решение задачи в новых координатах ищется в виде асимптотического разложения по малому геометрическому параметру [1], [4-10].

Заметим, что в методе малого геометрического параметра, асимптотические ряды одновременно имеют вид разложений по градиентам от функций, зависящих только от глобальных координат. Описанная процедура осреднения применима к линейным и нелинейным краевым задачам для дифференциальных уравнений с переменными периодическими коэффициентами, у которых ячейку периодичности можно афинно преобразовать в куб периодичности. В случае произвольной зависимости коэффициентов от координат (в том числе и при периодической зависимости) в линейных задачах можно применять другую технику осреднения. Она основана на возможности интегрального представления решения исходной задачи для линейного уравнения с переменными коэффициентами через решение такой же задачи для уравнения того же типа, но с постоянными коэффициентами [11-13]. Из интегрального представления вытекает представление решения исходной задачи в виде рядов по градиентам от решения задачи для уравнения с постоянными коэффициентами [13].

Целью настоящего исследования является разработка методики вычисления эффективных характеристик гофрированных пластинок. Для этого вначале выписаны уравнения равновесия для гибкой неоднородной по толщине и в плане, анизотропной пластинки с начальным прогибом. Приводится матричная форма записи этих уравнения, позволяющая существенно сократить форму записи выражений и упростить дальнейшие выкладки. После этого проводится процедура осреднения исходных матричных уравнений с переменными коэффициентами. Из процедуры осреднения вытекает постановка задач, после решения которых вычисляются искомые эффективные характеристики. В качестве примера рассмотрен случай гофрированной пластинки из однородного изотропного материала с шестигранными в плане гофрами. В этом случае получены приближенные выражения для компонент эффективных тензоров изгибной жесткости и продольной податливости, а также для эффективной толщины пластинки.