Архив номеров

В работе рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных эллиптического типа с переменными, кусочно-гладкими коэффициентами, зависящими от координат (исходные уравнения). Показано, что решение исходного уравнения можно представить в виде интегральной формулы через решение сопутствующего уравнения с постоянными коэффициентами того же типа. В это представление входит фундаментальное решение исходного уравнения. В предположении о гладкости сопутствующего решения, из интегральной формулы вытекает представление исходного решения в виде ряда по всевозможным производным от сопутствующего решения. Коэффициенты ряда называются структурными функциями, поскольку они определяются функциональной зависимостью коэффициентов исходных уравнений либо от координат, либо от времени, либо от координат и времени. Структурные функции тождественно равны нулю в том случае, когда исходные коэффициенты совпадают с соответствующими постоянными коэффициентами сопутствующего уравнения. Для структурных функций получены системы рекуррентных уравнений. Показано, что в случае неоднородной по толщине плиты структурные функции зависят только от координаты по толщине плиты, а структурные уравнения становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые интегрируются в общем виде. Рассмотрена схема решения задачи о плите.