Архив номеров

С использованием метода Винера-Хопфа приводятся точные решения задач плоской деформации упругого клина, боковые грани которого свободны от напряжений, с прямолинейными трещинами на его оси симметрии. В задаче 1 конечная трещина исходит из вершины клина; в задаче 2 полубесконечная трещина начинается на некотором расстоянии от вершины клина; в задаче 3 клин содержит внутреннюю конечную трещину.

Ранее различными авторами получены приближенные решения этих задач [1-10], а также точные решения задачи 1 [11-17] и однородной задачи 2 [18-20] (см. также [21]).

Методами приближенного конформного преобразования [1, 2] и интегральных уравнений [3, 4] исследовался частный случай задачи 1 о равновесии упругой полуплоскости с краевой трещиной, перпендикулярной границе полуплоскости. Решение задачи 1 получено в [11] сведением к краевой задаче Римана для аналитических функций и в [6, 7] - методом Винера-Хопфа. При этом в [11] факторизация коэффициента задачи проведена в интегралах типа Коши, но результаты вычислений отсутствуют, а в [6, 7] выполнена приближенная факторизация путем аппроксимации факторизуемой функции. В работе [8] задачи 1 и 2 сведены к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, которые решены численно. В задаче 1 вычислены значения плотности интегрального уравнения, через которую в виде интеграла Абеля выражаются нормальные перемещения берегов трещины; вычисления в задаче 2 отсутствуют.

Точные значения коэффициентов интенсивности напряжений в задаче 1 получены в работах [12-17] методом Винера-Хопфа. В [12] рассматривался случай заданных на берегах трещины линейных нормальных напряжений при отсутствии касательных напряжений, в [13-16] - сосредоточенных сил, действующих на берегах трещины, в [17] - сосредоточенных моментов, приложенных в вершине клина.

Решения однородной задачи 2, когда берега трещины свободны от напряжений и заданы главный вектор и главный момент напряжений на бесконечности, построены методом Винера-Хопфа в работах [18-20].

Задача 3 исследовалась в работах [6, 7, 9] различными приближенными методами: с помощью асимптотического решения интегрального уравнения; решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода методом последовательных приближений после аппроксимации трансформанты Фурье разностного ядра исходного интегрального уравнения; сведением задачи в результате другой аппроксимации ядра к сингулярному интегральному уравнению, допускающему решение в замкнутой форме. При этом асимптотический метод применим только в случае относительно удаленной от вершины клина трещины, а аппроксимация трансформанты ядра приводит к удовлетворительным результатам, если угол при вершине клина превышает π. Приводятся результаты вычислений коэффициентов интенсивности напряжений и значения скачка перемещений в одной внутренней точке трещины в случае, когда клин является полуплоскостью. В работах [6-9] исследованы также случаи жесткого закрепления и шарнирного опирания граней упругого клина. Численному решению задачи 3 методом сингулярных интегральных уравнений посвящена работа [10], где также рассмотрен случай закрепленных граней клина.

Ниже задачи 1, 2, для которых интегральные уравнения заданы на полубесконечном промежутке и имеют разностные ядра, решены методом Винера-Хопфа [22], а задача 3 - обобщенным методом Винера-Хопфа, развитым в работах [23-25] для решения интегрального уравнения с разностным ядром на конечном промежутке. Факторизация коэффициента функционального уравнения Винера-Хопфа проведена в бесконечных произведениях. Приводятся результаты вычислений коэффициентов интенсивности напряжений, распределения нормальных напряжений на линии продолжения трещины, а также нормальных перемещений берегов трещины.