Механика твердого тела (о журнале) Механика твердого тела
Известия Российской академии наук
 Журнал основан
в январе 1966 года
Выходит 6 раз в год
ISSN 1026-3519

Русский Русский  English English  О журнале | Номера | Для авторов | Редколлегия | Подписка | Контакты
 


Архив номеров

Для архивных номеров (2007 г. и ранее) полные тексты статей pdf доступны для свободного просмотра и скачивания.

Статей в базе данных сайта: 11223
На русском (Изв. РАН. МТТ): 8011
На английском (Mech. Solids): 3212

<< Предыдущая статья | Год 2007. Номер 3 | Следующая статья >>
Архангельский А.Ф., Горбачев В.И. Эффективные характеристики гофрированных пластин // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 3. С. 137-155.
Год 2007 Том   Номер 3 Страницы 137-155
Название
статьи
Эффективные характеристики гофрированных пластин
Автор(ы) Архангельский А.Ф. (Москва)
Горбачев В.И. (Москва)
Коды статьи УДК 539.4.25
Аннотация

В современных конструкциях и сооружениях широко применяются гофрированные пластины, поскольку они, по сравнению с плоскими пластинами, обладают большей жесткостью. Во многих случаях такую пластинку можно моделировать однородной анизотропной пластинкой с некоторыми эффективными жесткостями на изгиб и растяжение. В зависимости от геометрии гофров и их расположения эквивалентная однородная пластинка может обладать также и жесткостями взаимного влияния. Эти жесткости позволяют учитывать влияние изгибающих моментов на деформации в срединной плоскости и наоборот, влияние продольных деформаций на изгиб пластины [1]. Поведение гофрированной пластинки под действием нормальной к срединной поверхности нагрузки описывается уравнениями теории гибких пластинок с начальным прогибом. Эти уравнения представляют собой связанную систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами [2]. Зависимость коэффициентов от координат определяется геометрией гофра. В случае пластинки с периодическим гофром коэффициенты существенно меняются в пределах одного типичного элемента и зависят от значений локальных переменных, определённых в каждом из типичных элементов. Между локальными и глобальными переменными имеется связь, поэтому функции локальных координат одновременно являются функциями глобальных координат, иногда их называют быстроосциллирующими функциями [3].

Одним из способов решения уравнений с быстроосцилирующими коэффициентами является асимптотический метод малого геометрического параметра. Стандартная процедура этого метода обычно включает в себя три подготовительных этапа. На первом этапе вместо типичного элемента выделяется, как правило, прямоугольная ячейка периодичности. Второй этап заключается в изменении масштаба глобальных координат таким образом, чтобы прямоугольные ячейки периодичности структуры перешли бы в квадратные ячейки размера l×l. Третий этап состоит в переходе к безразмерным глобальным координатам, отнесенным к характерному размеру L пластинки. В результате зависимость между новыми локальными переменными и новыми отмасштабированными, безразмерными глобальными координатами станет такой, что при дифференцировании по глобальной координате любой функции от локальных координат появляется множитель 1/α, где α=l/L«1 - малый геометрический параметр. После этого решение задачи в новых координатах ищется в виде асимптотического разложения по малому геометрическому параметру [1], [4-10].

Заметим, что в методе малого геометрического параметра, асимптотические ряды одновременно имеют вид разложений по градиентам от функций, зависящих только от глобальных координат. Описанная процедура осреднения применима к линейным и нелинейным краевым задачам для дифференциальных уравнений с переменными периодическими коэффициентами, у которых ячейку периодичности можно афинно преобразовать в куб периодичности. В случае произвольной зависимости коэффициентов от координат (в том числе и при периодической зависимости) в линейных задачах можно применять другую технику осреднения. Она основана на возможности интегрального представления решения исходной задачи для линейного уравнения с переменными коэффициентами через решение такой же задачи для уравнения того же типа, но с постоянными коэффициентами [11-13]. Из интегрального представления вытекает представление решения исходной задачи в виде рядов по градиентам от решения задачи для уравнения с постоянными коэффициентами [13].

Целью настоящего исследования является разработка методики вычисления эффективных характеристик гофрированных пластинок. Для этого вначале выписаны уравнения равновесия для гибкой неоднородной по толщине и в плане, анизотропной пластинки с начальным прогибом. Приводится матричная форма записи этих уравнения, позволяющая существенно сократить форму записи выражений и упростить дальнейшие выкладки. После этого проводится процедура осреднения исходных матричных уравнений с переменными коэффициентами. Из процедуры осреднения вытекает постановка задач, после решения которых вычисляются искомые эффективные характеристики. В качестве примера рассмотрен случай гофрированной пластинки из однородного изотропного материала с шестигранными в плане гофрами. В этом случае получены приближенные выражения для компонент эффективных тензоров изгибной жесткости и продольной податливости, а также для эффективной толщины пластинки.

Список
литературы
1.  Андрианов И.В., Лесничая В.А., Маневич Л.И. Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. М.: Наука, 1985. 221 с.
2.  Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. 421 с.
3.  Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1975. Т. 221. № 3. С. 516-519.
4.  Бахвалов Н.С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой // Докл. АН СССР. 1974. Т. 218. № 5. С. 1040-1048.
5.  Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осредненние процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.
6.  Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 335 с.
7.  Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.
8.  Alexander L. Kalamkarov. Composite and reinforced elements of construction. John Wiley, Baffins Lane, Chechester, West Sussex P019, England, 1992. 290 с
9.  Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физматлит, 1993. 461 с.
10.  Бардзокас Д.И., Зобнин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. М.: Едиториал УРСС, 2003. 376 с.
11.  Горбачев В.И. Метод тензоров Грина для решения краевых задач теории упругости неоднородных сред // Вычислительная механика деформируемого твердого тела. 1991. Вып. 2. С. 61-76.
12.  Горбачев В.И. О представлении решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 2000. № 6. С. 68-71.
13.  Горбачев В.И. Осреднение линейных задач механики композитов при непериодической неоднородности // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 1. С. 31-37.
14.  Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1979. 223 с.
15.  Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989.374 с.
16.  Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. Киев: Наук. думка, 1985. 303 с.
17.  Григолюк Э.И., Фильштинский А.А. Перфорированные пластины и оболочки. М.: Наука, 1970. 556.
18.  Ломакин В.А. Статистические задачи механики деформируемых твердых тел. М.: Наука, 1970. 139 с.
19.  Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976. 367 с.
20.  Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 636 с.
21.  Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1979. 560 с.
Поступила
в редакцию
15 января 2007
Получить
полный текст
<< Предыдущая статья | Год 2007. Номер 3 | Следующая статья >>
Система OrphusЕсли Вы обнаружили опечатку или неточность на странице сайта, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

119526 Москва, пр-т Вернадского, д. 101, корп. 1, комн. 246 (495) 434-35-38 mtt@ipmnet.ru https://mtt.ipmnet.ru
Учредители: Российская академия наук, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Свидетельство о регистрации СМИ ПИ № ФС77-82148 от 02 ноября 2021 г., выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций
© Изв. РАН. МТТ
webmaster
Rambler's Top100