Архив номеров

Для исследования нелинейных колебаний качающейся пружины предлагается метод нормальной формы Пуанкаре-Биркгофа. Как известно, этим методом [1, 2] гамильтониан системы представляется в виде квадратичной части, которая называется невозмущенной, и суммой слагаемых степени выше двух. С помощью канонических преобразований гамильтонова система упрощается настолько, что гамильтонова система до членов четвертого порядка и выше становится интегрируемой. Таким образом, получается асимптотическое решение нелинейной задачи. Традиционные методы нормализации для системы с двумя степенями свободы достаточно громоздки и требуют большого числа выкладок [2-6]. Замена переменных ищется с помощью производящих функций, либо с помощью производящего гамильтониана. В данной работе используется определение инвариантной нормальной формы, данное [7, 8], которое не требует разделения на автономный-неавтономный, резонансный-нерезонансный случаи и осуществляется в рамках единого подхода. Асимптотики нормальной формы получаются путем последовательного вычисления квадратур. В отличие от метода Журавлева В.Ф. [7, 8] вместо производящего гамильтониана используется параметризованная производящая функция [9-11]. В данной статье дано дальнейшее исследование нелинейных колебаний качающейся пружины для резонансного случая, начатое в [12]. В результате система уравнений движения проинтегрирована при резонансе частот с точностью до членов третьего порядка по амплитуде колебаний. При отклонении маятника от положения равновесия строго по вертикали возникают колебания по вертикали. Колебания неустойчивы по отношению к любому малому возмущению по горизонтали. Неустойчивость приведет к возбуждению колебаний маятника по горизонтали. Этот периодический процесс перекачки энергии от одной моды к другой описан аналитически с высокой точностью при любых начальных отклонениях маятника. Проведено сравнение результатов с результатами других авторов [13-15], а также сравнение данного алгоритма с алгоритмами классического метода нормальной формы [16, 17].