Архив номеров

Плоская задача о квазистатическом сжатии между недеформируемыми шероховатыми плитами тонкого идеальнопластического слоя (задача Прандтля) имеет хорошо известное аналитическое решение во всех точках, достаточно далеких от среднего сечения слоя и его концов. Это решение, как статическая так и кинематическая его составляющие, выведено на основе гипотезы Прандтля [1] о линейности по толщине слоя касательного напряжения, принимающего свое максимальное по модулю значение на поверхностях плит (если плиты абсолютно шероховаты, то это значение есть предел текучести при сдвиге). Гипотеза Прандтля нашла широкое подтверждение в экспериментах, проводившихся после выхода в свет работы [1].

Вместе с тем возникает вопрос о возможности построения классического решения данной задачи при отказе от каких-либо статических или кинематических гипотез, накладываемых на заранее неизвестные величины, и о существовании других математических решений, в которых эти гипотезы не реализуются и которые сами в эксперименте не наблюдаются.

В работе на основе асимптотического анализа с естественным малым геометрическим параметром единственным образом получено точное решение (в смысле конечности членов асимптотических разложений), совпадающее с обобщенным решением Прандтля на случай произвольного коэффициента шероховатости плит. Строго показана неправомерность таких асимптотик вблизи среднего сечения слоя, где построено другое, внутреннее, асимптотическое разложение. Решение, соответствующее внутреннему разложению, также точно в отмеченном выше смысле и моделирует сжатие тонкой вертикальной полоски в середине слоя. Осуществлены два возможных варианта сращивания указанных разложений в сечении, удаленном от середины на расстояние, равное толщине слоя.