Архив номеров

Рассматривается задача о равновесии неоднородного анизотропного упругого слоя. Классическая постановка задачи в перемещениях состоит из трех дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами относительно трех перемещений и из трех граничных условий, заданных в каждой точке граничной поверхности. Иногда вместо постановки в перемещениях удобно принять классическую постановку задачи в напряжениях [1], или же новую постановку задачи в напряжениях, предложенную Б.Е. Победрей [2]. При постановке в напряжениях необходимо найти шесть компонент тензора напряжений, являющихся функциями трех координат. Какую постановку выбрать, зависит от исследователя и, конечно, от конкретной задачи. Наличие нескольких постановок расширяет возможности выбора метода решения задачи. В настоящей работе для слоя с плоскими граничными поверхностями предлагается новая постановка задачи, которую в отличие от двух других, обозначенных выше, можно назвать смешанной постановкой. Задача для слоя в новой постановке состоит из системы трех дифференциальных уравнений в частных производных относительно трех компонент вектора перемещений точек срединной плоскости. Эта система связана с тремя интегро-дифференциальными уравнениями для трех продольных компонент тензора напряжений. Таким образом, в новой постановке, так же как и в других постановках в напряжениях, нужно найти шесть функций. В новой постановке три функции являются функциями двух координат (перемещения точек срединной плоскости), а другие три - функциями трех координат (три продольные компоненты тензора напряжений). Показано, что все уравнения новой постановки являются уравнениями Эйлера для функционала Рейсснера с дополнительными ограничениями. После того как решена задача в новой постановке, находятся три компоненты вектора перемещений и три поперечные компоненты тензора напряжений в каждой точке слоя. Новая постановка будет полезна при построении различных инженерных теорий пластинок из композиционных материалов.